Bùi Thanh Liêm sinh ngày 30 tháng 6 năm 1949 tại Hà Nội. Mẹ ông tên Ngọc Yến; cha ông là liệt sĩ Bùi Đình Lợi - Trưởng ban Quân báo thuộc Trung đoàn 148, mặt trận Tây Bắc. Cha ông qua đời vào năm 1950 khi Bùi Thanh Liêm mới tròn 6 tháng tuổi và chị gái ông chỉ mới lên hai.[1]

Năm 1966, Bùi Thanh Liêm tốt nghiệp Trung học phổ thông, ông tình nguyện gia nhập Quân đội Nhân dân Việt Nam, ông được đào tạo trở thành phi công tiêm kích MIG-21, biên chế thuộc Trung đoàn không quân Sao Đỏ 921. Trong chiến tranh Việt Nam ông đã bắn rơi 2 chiếc máy bay của không lực Hoa Kỳ, chiến công đầu của ông là bắn rơi một máy bay F-4E.[2] Năm 1973, ông được bổ nhiệm làm Phi đội trưởng.

Từ năm 1974 đến năm 1978, ông được cử đi học tại Học viện Không quân mang tên Yuri Alekseyevich Gagarin (ở Monino, Liên Xô). Năm 1978, về nước ông được bổ nhiệm làm Trung đoàn phó - Tham mưu trưởng trung đoàn không quân Sao Đỏ 921.

Tháng 4 năm 1979, ông được chọn là một trong hai ứng viên Du hành vũ trụ Việt Nam theo chương trình khoa học không gian Interkosmos của Liên Xô.[3] Được đào tạo tại Trung tâm huấn luyện phi hành gia mang tên Yuri A. Gagarin (TsPK im. Y.A.Gagarin). Sau khi hoàn thành xuất sắc khóa huấn luyện vũ trụ tổng hợp và chuẩn bị cho chuyến bay trên tàu vũ trụ "Liên hợp". Anh hùng phi công Phạm Tuân được chỉ định vào đội bay chính của tàu vũ trụ Soyuz-37, còn Bùi Thanh Liêm được chỉ định vào phi hành đoàn thứ hai (dự bị cho phi hành gia Phạm Tuân).[4]

Sau khi hoàn thành chương trình Interkosmos và trở về Việt Nam vào năm 1980, ông trở lại công tác tại Đoàn không quân Sao Đỏ 921, và đã phục vụ cho đến khi qua đời. Ngày 4 tháng 9 năm 1980, Bùi Thanh Liêm được Chủ tịch nước tặng thưởng Huân chương Hồ Chí Minh và Huân chương Lao động hạng Nhì.[5]

Ngày 26 tháng 9 năm 1981, ông đã hy sinh trong một tai nạn máy bay MiG-21 khi đang thực thi nhiệm vụ huấn luyện trên vịnh Bắc Bộ.